4.2: Semplificare le espressioni radicali (2023)

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obiettivi formativi

Alla fine di questa sezione, sarai in grado di:

Utilizzare la proprietà del prodotto per semplificare le espressioni radicali
Utilizzare la proprietà del quoziente per semplificare le espressioni radicali

Prima di iniziare, rispondi a questo quiz sulla prontezza.

Semplifica: \(\dfrac{x^{9}}{x^{4}}\).
Se ti sei perso questo problema, rivedi l'Esempio 5.13.
Semplifica: \(\dfrac{y^{3}}{y^{11}}\).
Se ti sei perso questo problema, rivedi l'Esempio 5.13.
Semplifica: \(\sinistra(n^{2}\destra)^{6}\).
Se ti sei perso questo problema, rivedi l'Esempio 5.17.

Utilizzare la proprietà del prodotto per semplificare le espressioni radicali

Semplificheremo le espressioni radicali in un modo simile a come abbiamo semplificato le frazioni. Una frazione è semplificata se non ci sono divisori comuni al numeratore e al denominatore. Per semplificare una frazione, cerchiamo eventuali fattori comuni nel numeratore e nel denominatore.

UNespressione radicale, \(\sqrt[n]{a}\), è considerato semplificato se non ha divisori di \(m^{n}\). Quindi, per semplificare un'espressione radicale, cerchiamo tutti i fattori nel radicando che sono potenze dell'indice.

Definizione \(\PageIndex{1}\): espressione radicale semplificata

Per i numeri reali \(a\) e \(m\), e \(n\geq 2\),

\(\sqrt[n]{a}\) è considerato semplificato se \(a\) non ha divisori di \(m^{n}\)

Ad esempio, \(\sqrt{5}\) è considerato semplificato perché non ci sono fattori quadrati perfetti in \(5\). Ma \(\sqrt{12}\) non è semplificato perché \(12\) ha un fattore quadrato perfetto di \(4\).

Allo stesso modo, \(\sqrt[3]{4}\) è semplificato perché non ci sono fattori di cubo perfetto in \(4\). Ma \(\sqrt[3]{24}\) non è semplificato perché \(24\) ha un fattore di cubo perfetto di \(8\).

Per semplificare le espressioni radicali, useremo anche alcune proprietà delle radici. Le proprietà che useremo per semplificare le espressioni radicali sono simili alle proprietà degli esponenti. Lo sappiamo

\[(ab)^{n}=a^{n} b^{n}.\]

Il corrispondente diProprietà del prodotto delle radiciDillo

\[\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}.\]

Definizione \(\PageIndex{2}\): Proprietà prodotto delle radici \(n^{th}\).

Se \(\sqrt[n]{a}\) e \(\sqrt[n]{b}\) sono numeri reali e \(n\geq 2\) è un numero intero, allora

\(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text { e } \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt [n]{b}=\sqrt[n]{a b}\)

Usiamo la proprietà del prodotto delle radici per rimuovere tutti i fattori quadratici perfetti da una radice quadrata.

Esempio \(\PageIndex{1}\): Semplifica le radici quadrate utilizzando la proprietà product di roots

Semplifica: \(\sqrt{98}\).

Soluzione:


Passo 1: Trova il fattore più grande nel radicando che è una potenza perfetta dell'indice.	Vediamo che \(49\) è il fattore più grande di \(98\) che ha una potenza di \(2\).	\(\sqrt{98}\)
Riscrivi il radicando come prodotto di due fattori, usando quel fattore.	In altre parole \(49\) è il più grande fattore quadrato perfetto di \(98\). \(98 = 49\cdot 2\) Scrivi sempre prima il fattore quadrato perfetto.	\(\sqrt{49\cdot 2}\)
Passo 2: Usa la regola del prodotto per riscrivere il radicale come prodotto di due radicali.		\(\sqrt{49} \cdot \sqrt{2}\)
Passaggio 3: Semplifica la radice della potenza perfetta.		\(7\sqrt{2}\)

Provalo \(\PageIndex{1}\)

Semplifica: \(\sqrt{48}\)

Risposta: \(4 \sqrt{3}\)

Provalo \(\PageIndex{2}\)

Semplifica: \(\sqrt{45}\).

Risposta: \(3 \sqrt{5}\)

Si noti nell'esempio precedente che la forma semplificata di \(\sqrt{98}\) è \(7\sqrt{2}\), che è il prodotto di un numero intero e di una radice quadrata. Scriviamo sempre il numero intero davanti alla radice quadrata.

Fai attenzione a scrivere il tuo numero intero in modo che non venga confuso con l'indice. L'espressione \(7\sqrt{2}\) è molto diversa da \(\sqrt[7]{2}\).

Semplificare un'espressione radicale utilizzando la proprietà del prodotto

Trova il fattore più grande nel radicando che è una potenza perfetta dell'indice. Riscrivi il radicando come prodotto di due fattori, usando quel fattore.
Usa la regola del prodotto per riscrivere il radicale come prodotto di due radicali.
Semplifica la radice del potere perfetto.

Applicheremo questo metodo nel prossimo esempio. Può essere utile avere una tabella di quadrati perfetti, cubi e potenze quarte.

Esempio \(\PageIndex{2}\)

Semplificare:

\(\sqrt{500}\)
\(\sqrt[3]{16}\)
\(\sqrt[4]{243}\)

Soluzione:

UN.

\(\sqrt{500}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando il fattore quadrato perfetto più grande.

\(\sqrt{100 \cdot 5}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\sqrt{100} \cdot \sqrt{5}\)

Semplificare.

\(10\sqrt{5}\)

\(\sqrt[3]{16}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando il massimo fattore di cubo perfetto. \(2^{3}=8\)

\(\sqrt[3]{8 \cdot 2}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2}\)

Semplificare.

\(2 \sqrt[3]{2}\)

\(\sqrt[4]{243}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando il quarto fattore di potenza perfetto più grande. \(3^{4}=81\)

\(\sqrt[4]{81 \cdot 3}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}\)

Semplificare.

\(3 \sqrt[4]{3}\)

Provalo \(\PageIndex{3}\)

Semplifica: a. \(\sqrt{288}\) b. \(\sqrt[3]{81}\) c. \(\sqrt[4]{64}\)

Risposta: UN. \(12\sqrt{2}\) b. \(3 \sqrt[3]{3}\) c. \(2 \sqrt[4]{4}\)

Provalo \(\PageIndex{4}\)

Semplifica: a. \(\sqrt{432}\) b. \(\sqrt[3]{625}\) c. \(\sqrt[4]{729}\)

Risposta: UN. \(12\sqrt{3}\) b. \(5 \sqrt[3]{5}\) c. \(3 \sqrt[4]{9}\)

Il prossimo esempio è molto simile agli esempi precedenti, ma con variabili. Non dimenticare di usare i segni di valore assoluto quando prendi una radice pari di un'espressione con una variabile nel radicale.

Esempio \(\PageIndex{3}\)

Semplificare:

\(\sqrt{x^{3}}\)
\(\sqrt[3]{x^{4}}\)
\(\sqrt[4]{x^{7}}\)

Soluzione:

UN.

\(\sqrt{x^{3}}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando il fattore quadrato perfetto più grande.

\(\sqrt{x^{2} \cdot x}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x}\)

Semplificare.

\(|x| \sqrt{x}\)

\(\sqrt[3]{x^{4}}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando il più grande fattore di cubo perfetto.

\(\sqrt[3]{x^{3} \cdot x}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}\)

Semplificare.

\(x \sqrt[3]{x}\)

\(\sqrt[4]{x^{7}}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando il quarto fattore di potenza perfetto più grande.

\(\sqrt[4]{x^{4} \cdot x^{3}}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\sqrt[4]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}\)

Semplificare.

\(|x| \sqrt[4]{x^{3}}\)

Provalo \(\PageIndex{5}\)

Semplifica: a. \(\sqrt{b^{5}}\) b. \(\sqrt[4]{y^{6}}\) c. \(\sqrt[3]{z^{5}}\)

Risposta: UN. \(b^{2} \sqrt{b}\) b. \(|y| \sqrt[4]{y^{2}}\) c. \(z \sqrt[3]{z^{2}}\)

Provalo \(\PageIndex{6}\)

Semplifica: a. \(\sqrt{p^{9}}\) b. \(\sqrt[5]{y^{8}}\) c. \(\sqrt[6]{q^{13}}\)

Risposta: UN. \(p^{4} \sqrt{p}\) b. \(p \sqrt[5]{p^{3}}\) c. \(q^{2} \sqrt[6]{q}\)

Seguiamo la stessa procedura quando c'è un coefficiente nel radicando. Nel prossimo esempio, sia la costante che la variabile hanno fattori quadratici perfetti.

Esempio \(\PageIndex{4}\)

Semplificare:

Provalo \(\PageIndex{7}\)

Semplifica: a. \(\sqrt{32 y^{5}}\) b. \(\sqrt[3]{54 p^{10}}\) c. \(\sqrt[4]{64q^{10}}\)

Risposta: UN. \(4 y^{2} \sqrt{2 y}\) b. \(3 p^{3} \sqrt[3]{2 p}\) c. \(2 q^{2} \sqrt[4]{4 q^{2}}\)

Provalo \(\PageIndex{8}\)

Semplifica: a. \(\sqrt{75 a^{9}}\) b. \(\sqrt[3]{128 m^{11}}\) c. \(\sqrt[4]{162 n^{7}}\)

Risposta: UN. \(5 a^{4} \sqrt{3 a}\) b. \(4 m^{3} \sqrt[3]{2 m^{2}}\) c. \(3|n| \sqrt[4]{2 n^{3}}\)

Nel prossimo esempio, continuiamo a usare gli stessi metodi anche se ci sono più di una variabile sotto il radicale.

Esempio \(\PageIndex{5}\)

Semplificare:

\(\sqrt{63 u^{3} v^{5}}\)
\(\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}\)
\(\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}\)

Soluzione:

UN.

\(\sqrt{63 u^{3} v^{5}}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando il fattore quadrato perfetto più grande.

\(\sqrt{9 u^{2} v^{4} \cdot 7 u v}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\sqrt{9 u^{2} v^{4}} \cdot \sqrt{7 u v}\)

Riscrivi il primo radicando come \(\left(3 u v^{2}\right)^{2}\).

\(\sqrt{\left(3 u v^{2}\right)^{2}} \cdot \sqrt{7 u v}\)

Semplificare.

\(3|u| v^{2} \sqrt{7 u v}\)

\(\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando il più grande fattore di cubo perfetto.

\(\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3} \cdot 5 x y^{2}}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

Riscrivi il primo radicando come \((2xy)^{3}\).

\(\sqrt[3]{(2 x y)^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

Semplificare.

\(2xy\sqrt[3]{5xy^{2}}\)

\(\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando il quarto fattore di potenza perfetto più grande.

\(\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4} \cdot 3 y^{3}}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

Riscrivi il primo radicando come \((2xy)^{4}\).

\(\sqrt[4]{(2 x y)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

Semplificare.

\(2|xy| \sqrt[4]{3y^{3}}\)

Provalo \(\PageIndex{9}\)

Semplificare:

\(\sqrt{98 a^{7} b^{5}}\)
\(\sqrt[3]{56 x^{5} y^{4}}\)
\(\sqrt[4]{32 x^{5} y^{8}}\)

Risposta

\(7\sinistra|a^{3}\destra| b^{2} \sqrt{2 a b}\)
\(2 x y \sqrt[3]{7 x^{2} y}\)
\(2|x| y^{2} \sqrt[4]{2x}\)

Provalo \(\PageIndex{10}\)

Semplificare:

\(\sqrt{180 m^{9} n^{11}}\)
\(\sqrt[3]{72 x^{6} y^{5}}\)
\(\sqrt[4]{80 x^{7} y^{4}}\)

Risposta

\(6 m^{4}\sinistra|n^{5}\destra| \sqrt{5 m n}\)
\(2 x^{2} y \sqrt[3]{9 y^{2}}\)
\(2|x y| \sqrt[4]{5 x^{3}}\)

Esempio \(\PageIndex{6}\)

Semplificare:

\(\sqrt[3]{-27}\)
\(\sqrt[4]{-16}\)

Soluzione:

UN.

\(\sqrt[3]{-27}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando i fattori del cubo perfetto.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3}}\)

Prendi la radice cubica.

\(-3\)

\(\sqrt[4]{-16}\)

Non esiste un numero reale \(n\) dove \(n^{4}=-16\).

Non un numero reale

Provalo \(\PageIndex{11}\)

Semplificare:

\(\sqrt[3]{-64}\)
\(\sqrt[4]{-81}\)

Risposta

\(-4\)
nessun numero reale

Provalo \(\PageIndex{12}\)

Semplificare:

\(\sqrt[3]{-625}\)
\(\sqrt[4]{-324}\)

Risposta

\(-5 \sqrt[3]{5}\)
nessun numero reale

Abbiamo visto come utilizzare ilordine delle operazionisemplificare alcune espressioni con i radicali. Nel prossimo esempio, abbiamo la somma di un numero intero e di una radice quadrata. Semplifichiamo la radice quadrata ma non possiamo aggiungere l'espressione risultante all'intero poiché un termine contiene un radicale e l'altro no. Il prossimo esempio include anche una frazione con un radicale al numeratore. Ricorda che per semplificare una frazione hai bisogno di un fattore comune nel numeratore e nel denominatore.

Esempio \(\PageIndex{7}\)

Semplificare:

\(3+\sqrt{32}\)
\(\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}\)

Soluzione:

UN.

\(3+\sqrt{32}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando il fattore quadrato perfetto più grande.

\(3+\sqrt{16 \cdot 2}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(3+\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}\)

Semplificare.

\(3+4 \sqrt{2}\)

I termini non possono essere aggiunti in quanto uno ha un radicale e l'altro no. Cercare di sommare un numero intero e un radicale è come tentare di sommare un numero intero e una variabile. Non sono come termini!

\(\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando il fattore quadrato perfetto più grande.

\(\dfrac{4-\sqrt{16 \cdot 3}}{2}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\dfrac{4-\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}}{2}\)

Semplificare.

\(\dfrac{4-4 \sqrt{3}}{2}\)

Fattorizzare il fattore comune dal numeratore.

\(\dfrac{4(1-\sqrt{3})}{2}\)

Rimuovi il fattore comune, 2, dal numeratore e dal denominatore.

\(\dfrac{\cancel{2} \cdot 2(1-\sqrt{3})}{\cancel{2}}\)

Semplificare.

\(2(1-\sqrt{3})\)

Provalo \(\PageIndex{13}\)

Semplificare:

\(5+\sqrt{75}\)
\(\dfrac{10-\sqrt{75}}{5}\)

Risposta

\(5+5 \sqrt{3}\)
\(2-\sqrt{3}\)

Provalo \(\PageIndex{14}\)

Semplificare:

\(2+\sqrt{98}\)
\(\dfrac{6-\sqrt{45}}{3}\)

Risposta

\(2+7 \sqrt{2}\)
\(2-\sqrt{5}\)

Usa la proprietà Quotient per semplificare le espressioni radicali

Ogni volta che devi semplificare un'espressione radicale, il primo passo da fare è determinare se il radicando è una potenza perfetta dell'indice. In caso contrario, controlla il numeratore e il denominatore per eventuali fattori comuni e rimuovili. Potresti trovare una frazione in cui sia il numeratore che il denominatore sono potenze perfette dell'indice.

Esempio \(\PageIndex{8}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{45}{80}}\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}\)

Soluzione:

UN.

\(\sqrt{\dfrac{45}{80}}\)

Semplifica prima all'interno del radicale. Riscrivi mostrando i fattori comuni del numeratore e del denominatore.

\(\sqrt{\dfrac{5 \cdot 9}{5 \cdot 16}}\)

Semplifica la frazione eliminando i fattori comuni.

\(\sqrt{\dfrac{9}{16}}\)

Semplificare. Nota \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}\).

\(\dfrac{3}{4}\)

\(\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}\)

Semplifica prima all'interno del radicale. Riscrivi mostrando i fattori comuni del numeratore e del denominatore.

\(\sqrt[3]{\dfrac{2 \cdot 8}{2 \cdot 27}}\)

Semplifica la frazione eliminando i fattori comuni.

\(\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}\)

Semplificare. Nota \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{8}{27}\).

\(\dfrac{2}{3}\)

\(\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}\)

Semplifica prima all'interno del radicale. Riscrivi mostrando i fattori comuni del numeratore e del denominatore.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5 \cdot 1}{5 \cdot 16}}\)

Semplifica la frazione eliminando i fattori comuni.

\(\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}\)

Semplificare. Nota \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}\).

\(\dfrac{1}{2}\)

Provalo \(\PageIndex{15}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{75}{48}}\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{54}{250}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{32}{162}}\)

Risposta

\(\dfrac{5}{4}\)
\(\dfrac{3}{5}\)
\(\dfrac{2}{3}\)

Provalo \(\PageIndex{16}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{98}{162}}\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{24}{375}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{4}{324}}\)

Risposta

\(\dfrac{7}{9}\)
\(\dfrac{2}{5}\)
\(\dfrac{1}{3}\)

Nell'ultimo esempio, il nostro primo passo è stato semplificare la frazione sotto il radicale rimuovendo i fattori comuni. Nel prossimo esempio useremo ilProprietà quozientesemplificare sotto il radicale. Dividiamo le basi simili sottraendo i loro esponenti,

\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, \quad a \neq 0\)

Esempio \(\PageIndex{9}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}\)

Soluzione:

UN.

\(\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}\)

Semplifica prima la frazione all'interno del radicale. Dividi le basi simili sottraendo gli esponenti.

\(\sqrt{m^{2}}\)

Semplificare.

\(|m|\)

\(\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}\)

Usa la proprietà del quoziente degli esponenti per semplificare prima la frazione sotto il radicale.

\(\sqrt[3]{a^{3}}\)

Semplificare.

\(UN\)

\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}\)

Usa la proprietà del quoziente degli esponenti per semplificare prima la frazione sotto il radicale.

\(\sqrt[4]{a^{8}}\)

Riscrivi il radicando usando il quarto fattore di potenza perfetto.

\(\sqrt[4]{\left(a^{2}\right)^{4}}\)

Semplificare.

\(a^{2}\)

Provalo \(\PageIndex{17}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{a^{8}}{a^{6}}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{x^{7}}{x^{3}}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{y^{17}}{y^{5}}}\)

Risposta

\(|a|\)
\(|x|\)
\(y^{3}\)

Provalo \(\PageIndex{18}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{x^{14}}{x^{10}}}\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{m^{13}}{m^{7}}}\)
\(\sqrt[5]{\dfrac{n^{12}}{n^{2}}}\)

Risposta

\(x^{2}\)
\(m^{2}\)
\(n^{2}\)

Ricorda ilQuoziente a una proprietà di potenza? Diceva che potevamo elevare una frazione a potenza elevando separatamente il numeratore e il denominatore alla potenza.

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=\dfrac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)

Definizione \(\PageIndex{3}\)

Proprietà quoziente delle espressioni radicali

Se \(\sqrt[n]{a}\) e \(\sqrt[n]{b}\) sono numeri reali, \(b \neq 0\), e per ogni intero \(n \geq 2\ ) Poi,

\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \text { e } \dfrac{\sqrt [n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)

Esempio \(\PageIndex{10}\) come semplificare il quoziente di espressioni radicali

Semplifica: \(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\)

Soluzione:

Passo 1: Semplifica la frazione nel radicando, se possibile.

\(\dfrac{27 m^{3}}{196}\) non può essere semplificato.

\(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\)

Passo 2: Utilizzare la Proprietà Quoziente per riscrivere il radicale come quoziente di due radicali.

Riscriviamo \(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\) come quoziente di \(\sqrt{27 m^{3}}\) e \(\sqrt{196}\ ).

\(\dfrac{\sqrt{27 m^{3}}}{\sqrt{196}}\)

Passaggio 3: Semplifica i radicali al numeratore e al denominatore.

\(9m^{2}\) e \(196\) sono quadrati perfetti.

\(\dfrac{\sqrt{9 m^{2}} \cdot \sqrt{3 m}}{\sqrt{196}}\)

\(\dfrac{3 m \sqrt{3 m}}{14}\)

Provalo \(\PageIndex{19}\)

Semplifica: \(\sqrt{\dfrac{24 p^{3}}{49}}\).

Risposta: \(\dfrazione{2|p|\sqrt{6p}}{7}\)

Provalo \(\PageIndex{20}\)

Semplifica: \(\sqrt{\dfrac{48 x^{5}}{100}}\).

Risposta: \(\dfrac{2 x^{2} \sqrt{3 x}}{5}\)

Semplifica una radice quadrata utilizzando la proprietà del quoziente

Semplifica la frazione nel radicando, se possibile.
Utilizzare la proprietà del quoziente per riscrivere il radicale come quoziente di due radicali.
Semplifica i radicali al numeratore e al denominatore.

Esempio \(\PageIndex{11}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}\)

Soluzione:

UN.

\(\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}\)

Non possiamo semplificare la frazione nel radicando. Riscrivi utilizzando la proprietà Quoziente.

\(\dfrac{\sqrt{45 x^{5}}}{\sqrt{y^{4}}}\)

Semplifica i radicali al numeratore e al denominatore.

\(\dfrac{\sqrt{9 x^{4}} \cdot \sqrt{5 x}}{y^{2}}\)

Semplificare.

\(\dfrac{3 x^{2} \sqrt{5 x}}{y^{2}}\)

\(\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}\)

La frazione nel radicando non può essere semplificata. Usa la proprietà Quoziente per scrivere come due radicali.

\(\dfrac{\sqrt[3]{24 x^{7}}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

Riscrivi ogni radicando come un prodotto usando i fattori del cubo perfetto.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

Riscrivi il numeratore come prodotto di due radicali.

\(\dfrac{\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}}{\sqrt[3]{y^{ 3}}}\)

Semplificare.

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}}{y}\)

\(\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}\)

La frazione nel radicando non può essere semplificata.

\(\dfrac{\sqrt[4]{48 x^{10}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}\)

Usa la proprietà Quoziente per scrivere come due radicali. Riscrivi ogni radicando come un prodotto usando il quarto fattore di potenza perfetto.

\(\dfrac{\sqrt[4]{16 x^{8} \cdot 3 x^{2}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}\)

Riscrivi il numeratore come prodotto di due radicali.

\(\dfrac{\sqrt[4]{\left(2 x^{2}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 x^{2}}}{\sqrt[4] {\sinistra(y^{2}\destra)^{4}}}\)

Semplificare.

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{3 x^{2}}}{y^{2}}\)

Provalo \(\PageIndex{21}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{80 m^{3}}{n^{6}}}\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{108 c^{10}}{d^{6}}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{80 x^{10}}{y^{4}}}\)

Risposta

\(\dfrac{4|m| \sqrt{5 m}}{\sinistra|n^{3}\destra|}\)
\(\dfrac{3 c^{3} \sqrt[3]{4 c}}{d^{2}}\)
\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{5 x^{2}}}{|y|}\)

Provalo \(\PageIndex{22}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{54 u^{7}}{v^{8}}}\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{40 r^{3}}{s^{6}}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{162 m^{14}}{n^{12}}}\)

Risposta

\(\dfrac{3 u^{3} \sqrt{6 u}}{v^{4}}\)
\(\dfrac{2 r \sqrt[3]{5}}{s^{2}}\)
\(\dfrac{3\left|m^{3}\right| \sqrt[4]{2 m^{2}}}{\left|n^{3}\right|}\)

Assicurati di semplificare prima la frazione in radicaland, se possibile.

Esempio \(\PageIndex{12}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Soluzione:

UN.

\(\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}\)

Semplifica la frazione nel radicando, se possibile.

\(\sqrt{\dfrac{9 p^{4} q^{5}}{16}}\)

Riscrivi utilizzando la proprietà Quoziente.

\(\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{5}}}{\sqrt{16}}\)

Semplifica i radicali al numeratore e al denominatore.

\(\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{4}} \cdot \sqrt{q}}{4}\)

Semplificare.

\(\dfrac{3 p^{2} q^{2} \sqrt{q}}{4}\)

\(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)

Semplifica la frazione nel radicando, se possibile.

\(\sqrt[3]{\dfrac{8 x^{3} y^{5}}{27}}\)

Riscrivi utilizzando la proprietà Quoziente.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{5}}}{\sqrt[3]{27}}\)

Semplifica i radicali al numeratore e al denominatore.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{27}}\)

Semplificare.

\(\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}\)

\(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Semplifica la frazione nel radicando, se possibile.

\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{5} b^{4}}{16}}\)

Riscrivi utilizzando la proprietà Quoziente.

\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{5} b^{4}}}{\sqrt[4]{16}}\)

Semplifica i radicali al numeratore e al denominatore.

\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{4} b^{4}} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{16}}\)

Semplificare.

\(\dfrac{|ab| \sqrt[4]{a}}{2}\)

Provalo \(\PageIndex{23}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{50 x^{5} y^{3}}{72 x^{4} y}}\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Risposta

\(\dfrac{5|y| \sqrt{x}}{6}\)
\(\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}\)
\(\dfrac{|ab| \sqrt[4]{a}}{2}\)

Provalo \(\PageIndex{24}\)

Semplificare:

\(\sqrt{\dfrac{48 m^{7} n^{2}}{100 m^{5} n^{8}}}\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{54 x^{7} y^{5}}{250 x^{2} y^{2}}}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{32 a^{9} b^{7}}{162 a^{3} b^{3}}}\)

Risposta

\(\dfrac{2|m| \sqrt{3}}{5\sinistra|n^{3}\destra|}\)
\(\dfrac{3 x y \sqrt[3]{x^{2}}}{5}\)
\(\dfrac{2|a b| \sqrt[4]{a^{2}}}{3}\)

Nel prossimo esempio, non c'è nulla da semplificare nei denominatori. Poiché l'indice sui radicali è lo stesso, possiamo usare theProprietà quozienteancora una volta, per combinarli in un unico radicale. Vedremo quindi se possiamo semplificare l'espressione.

Esempio \(\PageIndex{13}\)

Semplificare:

\(\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}\)

Soluzione:

UN.

\(\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}\)

Il denominatore non può essere semplificato, quindi usa la proprietà Quotient per scrivere come un radicale.

\(\sqrt{\dfrac{48 a^{7}}{3 a}}\)

Semplifica la frazione sotto il radicale.

\(\sqrt{16 a^{6}}\)

Semplificare.

\(4\sinistra|a^{3}\destra|\)

\(\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}\)

Il denominatore non può essere semplificato, quindi usa la proprietà Quotient per scrivere come un radicale.

\(\sqrt[3]{\dfrac{-108}{2}}\)

Semplifica la frazione sotto il radicale.

\(\sqrt[3]{-54}\)

Riscrivi il radicando come prodotto usando i fattori del cubo perfetto.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3} \cdot 2}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3}} \cdot \sqrt[3]{2}\)

Semplificare.

\(-3 \sqrt[3]{2}\)

\(\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}\)

Il denominatore non può essere semplificato, quindi usa la proprietà Quotient per scrivere come un radicale.

\(\sqrt[4]{\dfrac{96 x^{7}}{3 x^{2}}}\)

Semplifica la frazione sotto il radicale.

\(\sqrt[4]{32 x^{5}}\)

Riscrivi il radicando come un prodotto usando il quarto fattore di potenza perfetto.

\(\sqrt[4]{16 x^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}\)

Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.

\(\sqrt[4]{(2 x)^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}\)

Semplificare.

\(2|x| \sqrt[4]{2x}\)

Provalo \(\PageIndex{25}\)

Semplificare:

\(\dfrac{\sqrt{98 su^{5}}}{\sqrt{2 su}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{-500}}{\sqrt[3]{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt[4]{486 m^{11}}}{\sqrt[4]{3 m^{5}}}\)

Risposta

\(7z^{2}\)
\(-5 \sqrt[3]{2}\)
\(3|m| \sqrt[4]{2 m^{2}}\)

Provalo \(\PageIndex{26}\)

Semplificare:

\(\dfrac{\sqrt{128 m^{9}}}{\sqrt{2 m}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{-192}}{\sqrt[3]{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt[4]{324 n^{7}}}{\sqrt[4]{2 n^{3}}}\)

Risposta

\(8m^{4}\)
\(-4\)
\(3|n| \sqrt[4]{2}\)

Accedi a queste risorse online per ulteriori istruzioni e pratica con la semplificazione delle espressioni radicali.

Semplificazione della radice quadrata e della radice cubica con le variabili
Esprimi un radicale in forma semplificata: radici quadrate e cubiche con variabili ed esponenti
Semplificare le radici cubiche

Concetti chiave

Espressione radicale semplificata
- Per numeri reali \(a, m\) e \(n≥2\)
  \(\sqrt[n]{a}\) è considerato semplificato se \(a\) non ha divisori di \(m^{n}\)
Proprietà prodotto delle radici \(n^{th}\).
- Per qualsiasi numero reale, \(\sqrt[n]{a}\) e \(\sqrt[n]{b}\), e per qualsiasi numero intero \(n≥2\)
  \(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) e \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{ b}=\sqrt[n]{ab}\)
Come semplificare un'espressione radicale utilizzando la proprietà Product
1. Trova il fattore più grande nel radicando che è una potenza perfetta dell'indice.
  Riscrivi il radicando come prodotto di due fattori, usando quel fattore.
2. Usa la regola del prodotto per riscrivere il radicale come prodotto di due radicali.
3. Semplifica la radice del potere perfetto.
Proprietà quoziente delle espressioni radicali
- Se \(\sqrt[n]{a}\) e \(\sqrt[n]{b}\) sono numeri reali, \(b≠0\), e per ogni numero intero \(n≥2\) allora , \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) e \(\dfrac{\ sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)
Come semplificare un'espressione radicale usando la proprietà Quotient.
1. Semplifica la frazione nel radicando, se possibile.
2. Utilizzare la proprietà del quoziente per riscrivere il radicale come quoziente di due radicali.
3. Semplifica i radicali al numeratore e al denominatore.

FAQs

Come semplificare le espressioni con i radicali? ›

Per semplificare un radicale si deve dividere l'indice della radice e gli esponenti dei fattori del radicando per il loro eventuale divisore comune, e successivamente portare fuori radice i fattori che hanno un esponente maggiore o uguale all'indice della radice.

Learn More Now ›

Cosa vuol dire semplificare un radicale? ›

La semplificazione dell'indice del radicale con l'esponente del radicando si basa sulla proprietà invariantiva dei radicali. Quando moltiplico o divido l'indice della radice e l'esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da zero ottengo un radicale equivalente.

Come si calcola la radice di 24? ›

La radice quadrata di 24 è due radical sei: √24=2√6≃4,899. La radice di 24 è un numero irrazionale, ossia un numero decimale illimitato e non periodico, che quindi non si può scrivere sotto forma di frazione.

Come ridurre i radicali? ›

E' possibile ridurre due o più radicali con radicando positivo allo stesso indice utilizzando come indice comune il minimo comune multiplo degli indici e moltiplicando l'esponente di ciascun radicando per il rapporto tra l'indice comune e l'indice presente nel radicando di partenza considerato.

Tell Me More ›

Come semplificare radice di 27? ›

Scomponi 9 9 da 27 27 . Riscrivi 9 9 come 32 3 2 . Estrai i termini dal radicale. Il risultato può essere mostrato in più forme.

Come semplificare la radice di 50? ›

Algebra Esempi

Riscrivi 50 come 52⋅2 5 2 ⋅ 2 . Scomponi 25 25 da 50 50 . Riscrivi 25 25 come 52 5 2 . Estrai i termini dal radicale.

Discover More Details ›

Come fare la radice di 40? ›

Potreste spiegarmi in dettaglio quali sono i metodi per calcolare la radice quadrata di 40? La radice quadrata di 40 è uguale a due radical dieci: √40=2√10≃6,325. La radice di 40 è un numero irrazionale, ossia un numero decimale illimitato e non periodico, che in quanto tale non si può scrivere sotto forma di frazione.

Tell Me More ›

Come togliere il radicale? ›

Un numero radicale o irrazionale non viene in genere lasciato al denominatore di una frazione. Quando ti trovi di fronte a una frazione con un radicale al denominatore, devi moltiplicarla per un termine o una serie di termini, in modo da rimuovere l'espressione radicale.