8.5 Dividere le espressioni radicali - Algebra intermedia 2e

obiettivi formativi

Alla fine di questa sezione, sarai in grado di:

Dividi le espressioni radicali
Razionalizza un denominatore a un termine
Razionalizza un denominatore a due termini

Essere preparato 8.13

Prima di iniziare, rispondi a questo quiz sulla prontezza.

Semplificare: $\frac{30}{48} .$
Se ti sei perso questo problema, rivediEsempio 1.24.

Essere preparato 8.14

Semplificare: $X^{2} \cdot X^{4} .$
Se ti sei perso questo problema, rivediEsempio 5.12.

Essere preparato 8.15

Moltiplicare: $(7 + 3 X) (7 - 3 X) .$
Se ti sei perso questo problema, rivediEsempio 5.32.

Dividi le espressioni radicali

Abbiamo usato ilProprietà quoziente delle espressioni radicaliper semplificare radici di frazioni. Avremo bisogno di usare questa proprietà "al contrario" per semplificare una frazione con radicali.

Diamo di nuovo la proprietà del quoziente delle espressioni radicali per un facile riferimento. Ricorda, assumiamo che tutte le variabili siano maggiori o uguali a zero in modo che non siano necessarie barre di valore assoluto.

Proprietà quoziente delle espressioni radicali

Se $\sqrt[N]{UN}$ E $\sqrt[N]{B}$ sono numeri reali, $B \neq 0,$ e per qualsiasi numero intero $N \geq 2$ Poi,

$\sqrt[N]{\frac{UN}{B}} = \frac{\sqrt[N]{UN}}{\sqrt[N]{B}} E \frac{\sqrt[N]{UN}}{\sqrt[N]{B}} = \sqrt[N]{\frac{UN}{B}}$

Useremo la proprietà del quoziente delle espressioni radicali quando la frazione con cui iniziamo è il quoziente di due radicali e nessuno dei due radicali è una potenza perfetta dell'indice. Quando scriviamo la frazione in un singolo radicale, possiamo trovare fattori comuni nel numeratore e nel denominatore.

Esempio 8.47

Semplificare:ⓐ $\frac{\sqrt{72 X^{3}}}{\sqrt{162 X}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{32 X^{2}}}{\sqrt[3]{4 X^{5}}} .$

Soluzione

ⓐ

	$\frac{\sqrt{72 X^{3}}}{\sqrt{162 X}}$
Riscrivi usando la proprietà quoziente, $\frac{\sqrt[N]{UN}}{\sqrt[N]{B}} = \sqrt[N]{\frac{UN}{B}} .$	$\sqrt{\frac{72 X^{3}}{162 X}}$
Rimuovi i fattori comuni.	$\sqrt{\frac{18 \cdot 4 \cdot X^{2} \cdot X}{18 \cdot 9 \cdot X}}$
Semplificare.	$\sqrt{\frac{4 X^{2}}{9}}$
Semplifica il radicale.	$\frac{2 X}{3}$

ⓑ

	$\frac{\sqrt[3]{32 X^{2}}}{\sqrt[3]{4 X^{5}}}$
Riscrivi usando la proprietà quoziente, $\frac{\sqrt[N]{UN}}{\sqrt[N]{B}} = \sqrt[N]{\frac{UN}{B}} .$	$\sqrt[3]{\frac{32 X^{2}}{4 X^{5}}}$
Semplifica la frazione sotto il radicale.	$\sqrt[3]{\frac{8}{X^{3}}}$
Semplifica il radicale.	$\frac{2}{X}$

Provalo 8.93

Semplificare:ⓐ $\frac{\sqrt{50 S^{3}}}{\sqrt{128 S}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{56 {UN}^{}}}{\sqrt[3]{7 {UN}^{4}}} .$

Provalo 8.94

Semplificare:ⓐ $\frac{\sqrt{75 Q^{5}}}{\sqrt{108 Q}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{72 B^{2}}}{\sqrt[3]{9 B^{5}}} .$

Esempio 8.48

Semplificare:ⓐ $\frac{\sqrt{147 UN B^{8}}}{\sqrt{3 {UN}^{3} B^{4}}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{−250 M^{} N^{-2}}}{\sqrt[3]{2 M^{-2} N^{4}}} .$

Soluzione

ⓐ

	$\frac{\sqrt{147 UN B^{8}}}{\sqrt{3 {UN}^{3} B^{4}}}$
Riscrivi utilizzando la proprietà quoziente.	$\sqrt{\frac{147 UN B^{8}}{3 {UN}^{3} B^{4}}}$
Rimuovi i fattori comuni nella frazione.	$\sqrt{\frac{49 B^{4}}{{UN}^{2}}}$
Semplifica il radicale.	$\frac{7 B^{2}}{UN}$

ⓑ

	$\frac{\sqrt[3]{−250 M^{} N^{-2}}}{\sqrt[3]{2 M^{-2} N^{4}}}$
Riscrivi utilizzando la proprietà quoziente.	$\sqrt[3]{\frac{−250 M^{} N^{-2}}{2 M^{-2} N^{4}}}$
Semplifica la frazione sotto il radicale.	$\sqrt[3]{\frac{−125 M^{3}}{N^{6}}}$
Semplifica il radicale.	$- \frac{5 M}{N^{2}}$

Provalo 8,95

Semplificare:ⓐ $\frac{\sqrt{162 X^{10} {si}^{2}}}{\sqrt{2 X^{6} {si}^{6}}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{−128 X^{2} {si}^{-1}}}{\sqrt[3]{2 X^{-1} {si}^{2}}} .$

Provalo 8,96

Semplificare:ⓐ $\frac{\sqrt{300 M^{3} N^{7}}}{\sqrt{3 M^{5} N}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{−81 P Q^{-1}}}{\sqrt[3]{3 P^{-2} Q^{5}}} .$

Esempio 8.49

Semplificare: $\frac{\sqrt{54 X^{5} {si}^{3}}}{\sqrt{3 X^{2} si}} .$

Soluzione

	$\frac{\sqrt{54 X^{5} {si}^{3}}}{\sqrt{3 X^{2} si}}$
Riscrivi utilizzando la proprietà quoziente.	$\sqrt{\frac{54 X^{5} {si}^{3}}{3 X^{2} si}}$
Rimuovi i fattori comuni nella frazione.	$\sqrt{18 X^{3} {si}^{2}}$
Riscrivi il radicando come prodotto utilizzando il fattore quadrato perfetto più grande.	$\sqrt{9 X^{2} {si}^{2} \cdot 2 X}$
Riscrivi il radicale come prodotto di due radicali.	$\sqrt{9 X^{2} {si}^{2}} \cdot \sqrt{2 X}$
Semplificare.	$3 X si \sqrt{2 X}$

Provalo 8.97

Semplificare: $\frac{\sqrt{64 X^{4} {si}^{5}}}{\sqrt{2 X {si}^{3}}} .$

Provalo 8,98

Semplificare: $\frac{\sqrt{96 {UN}^{5} B^{4}}}{\sqrt{2 {UN}^{3} B}} .$

Razionalizzare un denominatore a un termine

Prima che la calcolatrice diventasse uno strumento della vita quotidiana, approssimare il valore di una frazione con un radicale al denominatore era un processo molto macchinoso!

Per questo motivo, un processo chiamatorazionalizzando il denominatoreè stato sviluppato. Una frazione con un radicale al denominatore viene convertita in una frazione equivalente il cui denominatore è un numero intero. Le radici quadrate di numeri che non sono quadrati perfetti sono numeri irrazionali. Quando razionalizziamo il denominatore, scriviamo una frazione equivalente con un numero razionale nel denominatore.

Questo processo è ancora utilizzato oggi ed è utile anche in altre aree della matematica.

Razionalizzazione del denominatore

Razionalizzazione del denominatoreè il processo di conversione di una frazione con un radicale al denominatore in una frazione equivalente il cui denominatore è un numero intero.

Anche se abbiamo calcolatori disponibili quasi ovunque, una frazione con un radicale nel denominatore deve ancora essere razionalizzata. Non è considerato semplificato se il denominatore contiene un radicale.

Allo stesso modo, Aespressione radicalenon è considerato semplificato se il radicando contiene una frazione.

Espressioni radicali semplificate

Un'espressione radicale è considerata semplificata se esiste

nessun fattore nel radicando ha potenze perfette dell'indice
nessuna frazione nel radicando
nessun radicale nel denominatore di una frazione

Per razionalizzare un denominatore con una radice quadrata, usiamo la proprietà that ${(\sqrt{UN})}^{2} = UN .$ Se eleviamo al quadrato una radice quadrata irrazionale, otteniamo un numero razionale.

Useremo questa proprietà per razionalizzare il denominatore nel prossimo esempio.

Esempio 8.50

Semplificare:ⓐ $\frac{4}{\sqrt{3}}$ ⓑ $\sqrt{\frac{3}{20}}$ ⓒ $\frac{3}{\sqrt{6 X}} .$

Soluzione

Per razionalizzare un denominatore con un termine, possiamo moltiplicare una radice quadrata per se stessa. Per mantenere la frazione equivalente, moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per lo stesso fattore.

ⓐ


Moltiplica sia il numeratore che il denominatore per $\sqrt{3} .$
Semplificare.

ⓑSemplifichiamo sempre prima il radicale nel denominatore, prima di razionalizzarlo. In questo modo i numeri rimangono più piccoli e più facili da lavorare.


La frazione non è un quadrato perfetto, quindi riscrivi usando il Proprietà quoziente.
Semplifica il denominatore.
Moltiplica il numeratore e il denominatore per $\sqrt{5} .$
Semplificare.
Semplificare.

ⓒ


Moltiplica il numeratore e il denominatore per $\sqrt{6 X} .$
Semplificare.
Semplificare.

Provalo 8,99

Semplificare:ⓐ $\frac{5}{\sqrt{3}}$ ⓑ $\sqrt{\frac{3}{32}}$ ⓒ $\frac{2}{\sqrt{2 X}} .$

Provalo 8.100

Semplificare:ⓐ $\frac{6}{\sqrt{5}}$ ⓑ $\sqrt{\frac{7}{18}}$ ⓒ $\frac{5}{\sqrt{5 X}} .$

Quando abbiamo razionalizzato una radice quadrata, abbiamo moltiplicato il numeratore e il denominatore per una radice quadrata che ci avrebbe dato un quadrato perfetto sotto il radicale nel denominatore. Quando abbiamo preso la radice quadrata, il denominatore non aveva più un radicale.

Seguiremo un processo simile per razionalizzare le radici superiori. Per razionalizzare un denominatore con un radicale indice più alto, moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per un radicale che ci darebbe un radicando che è una potenza perfetta dell'indice. Quando semplifichiamo il nuovo radicale, il denominatore non avrà più un radicale.

Per esempio,

8.5 Dividere le espressioni radicali - Algebra intermedia 2e | OpenStax (14)

Useremo questa tecnica nei prossimi esempi.

Esempio 8.51

Semplificareⓐ $\frac{1}{\sqrt[3]{6}}$ ⓑ $\sqrt[3]{\frac{7}{24}}$ ⓒ $\frac{3}{\sqrt[3]{4 X}} .$

Soluzione

Per razionalizzare un denominatore con una radice cubica, possiamo moltiplicare per una radice cubica che ci darà un cubo perfetto nel radicando nel denominatore. Per mantenere la frazione equivalente, moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per lo stesso fattore.

ⓐ


Il radicale al denominatore ha un fattore 6. Moltiplica sia il numeratore che il denominatore per $\sqrt[3]{6^{2}},$ che ci dà altri 2 divisori di 6.
Moltiplicare. Nota il radicando al denominatore ha 3 potenze di 6.
Semplifica la radice cubica al denominatore.

ⓑSemplifichiamo sempre prima il radicale nel denominatore, prima di razionalizzarlo. In questo modo i numeri rimangono più piccoli e più facili da lavorare.


La frazione non è un cubo perfetto, quindi riscrittura utilizzando la proprietà quoziente.
Semplifica il denominatore.
Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\sqrt[3]{3^{2}} .$ Questo ci darà 3 divisori di 3.
Semplificare.
Ricordare, $\sqrt[3]{3^{3}} = 3 .$
Semplificare.

ⓒ


Riscrivi il radicando per mostrare i fattori.
Moltiplica il numeratore e il denominatore per $\sqrt[3]{2 \cdot X^{2}} .$ Questo ci porterà 3 fattori di 2 e 3 fattori diX.
Semplificare.
Semplifica il radicale al denominatore.

Provalo 8.101

Semplificare:ⓐ $\frac{1}{\sqrt[3]{7}}$ ⓑ $\sqrt[3]{\frac{5}{12}}$ ⓒ $\frac{5}{\sqrt[3]{9 si}} .$

Provalo 8.102

Semplificare:ⓐ $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ ⓑ $\sqrt[3]{\frac{3}{20}}$ ⓒ $\frac{2}{\sqrt[3]{25 N}} .$

Esempio 8.52

Semplificare:ⓐ $\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{5}{64}}$ ⓒ $\frac{2}{\sqrt[4]{8 X}} .$

Soluzione

Per razionalizzare un denominatore con una quarta radice, possiamo moltiplicare per una quarta radice che ci darà una quarta potenza perfetta nel radicando nel denominatore. Per mantenere la frazione equivalente, moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per lo stesso fattore.

ⓐ


Il radicale al denominatore ha un fattore 2. Moltiplica sia il numeratore che il denominatore per $\sqrt[4]{2^{3}},$ che ci dà altri 3 divisori di 2.
Moltiplicare. Nota il radicando al denominatore ha 4 potenze di 2.
Semplifica la radice quarta al denominatore.

ⓑSemplifichiamo sempre prima il radicale nel denominatore, prima di razionalizzarlo. In questo modo i numeri rimangono più piccoli e più facili da lavorare.


La frazione non è una quarta potenza perfetta, quindi riscrivi utilizzando la proprietà quoziente.
Riscrivi il radicando al denominatore per mostrare i fattori.
Semplifica il denominatore.
Moltiplica il numeratore e il denominatore per $\sqrt[4]{2^{2}} .$ Questo ci darà 4 divisori di 2.
Semplificare.
Ricordare, $\sqrt[4]{2^{4}} = 2 .$
Semplificare.

ⓒ


Riscrivi il radicando per mostrare i fattori.
Moltiplica il numeratore e il denominatore per $\sqrt[4]{2 \cdot X^{3}} .$ Questo ci porterà 4 fattori di 2 e 4 fattori diX.
Semplificare.
Semplifica il radicale al denominatore.
Semplifica la frazione.

Provalo 8.103

Semplificare:ⓐ $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{3}{64}}$ ⓒ $\frac{3}{\sqrt[4]{125 X}} .$

Provalo 8.104

Semplificare:ⓐ $\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{7}{128}}$ ⓒ $\frac{4}{\sqrt[4]{4 X}}$

Razionalizzare un denominatore a due termini

Quando il denominatore di una frazione è una somma o una differenza con radici quadrate, usiamo theProdotto del modello coniugatoArazionalizzare il denominatore.

$\begin{matrix} (UN - B) (UN + B) & (2 - \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}) \\ {UN}^{2} - B^{2} & 2^{2} - {(\sqrt{5})}^{2} \\ 4 - 5 \\ -1 \end{matrix}$

Quando moltiplichiamo un binomio che include una radice quadrata per il suo coniugato, il prodotto non ha radici quadrate.

Esempio 8.53

Semplificare: $\frac{5}{2 - \sqrt{3}} .$

Soluzione


Moltiplica il numeratore e il denominatore per il coniugato del denominatore.
Moltiplica i coniugati al denominatore.
Semplifica il denominatore.
Semplifica il denominatore.
Semplificare.

Provalo 8.105

Semplificare: $\frac{3}{1 - \sqrt{5}} .$

Provalo 8.106

Semplificare: $\frac{2}{4 - \sqrt{6}} .$

Nota che non abbiamo distribuito il 5 nella risposta dell'ultimo esempio. Lasciando il risultato scomposto, possiamo vedere se ci sono fattori che possono essere comuni sia al numeratore che al denominatore.

Esempio 8.54

Semplificare: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{tu} - \sqrt{6}} .$

Soluzione


Moltiplica il numeratore e il denominatore per il coniugato del denominatore.
Moltiplica i coniugati al denominatore.
Semplifica il denominatore.

Provalo 8.107

Semplificare: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{X} + \sqrt{2}} .$

Provalo 8.108

Semplificare: $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{si} - \sqrt{3}} .$

Fai attenzione ai segni quando moltiplichi. Il numeratore e il denominatore sembrano molto simili quando moltiplichi per il coniugato.

Esempio 8.55

Semplificare: $\frac{\sqrt{X} + \sqrt{7}}{\sqrt{X} - \sqrt{7}} .$

Soluzione


Moltiplica il numeratore e il denominatore per il coniugato del denominatore.
Moltiplica i coniugati al denominatore.
Semplifica il denominatore.

Non eleviamo al quadrato il numeratore. Lasciandolo in forma scomposta, possiamo vedere che non ci sono fattori comuni da rimuovere dal numeratore e dal denominatore.

Provalo 8.109

Semplificare: $\frac{\sqrt{P} + \sqrt{2}}{\sqrt{P} - \sqrt{2}} .$

Provalo 8.110

Semplificare: $\frac{\sqrt{Q} - \sqrt{10}}{\sqrt{Q} + \sqrt{10}}$

Media

Accedi a queste risorse online per ulteriori istruzioni e pratica con le espressioni radicali di divisione.

Razionalizzare il denominatore
Dividere le espressioni radicali e razionalizzare il denominatore
Semplificazione di un'espressione radicale con un coniugato
Razionalizzare il denominatore di un'espressione radicale

Sezione 8.5 Esercizi

La pratica rende perfetti

Dividi le radici quadrate

Nei seguenti esercizi, semplifica.

245.

ⓐ $\frac{\sqrt{128}}{\sqrt{72}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{54}}$

246.

ⓐ $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{75}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{24}}$

247.

ⓐ $\frac{\sqrt{200 M^{5}}}{\sqrt{98 M}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{54 {si}^{2}}}{\sqrt[3]{2 {si}^{5}}}$

248.

ⓐ $\frac{\sqrt{108 N^{7}}}{\sqrt{243 N^{3}}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{54 {si}^{}}}{\sqrt[3]{16 {si}^{4}}}$

249.

ⓐ $\frac{\sqrt{75 R^{3}}}{\sqrt{108 R^{7}}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{24 X^{7}}}{\sqrt[3]{81 X^{4}}}$

250.

ⓐ $\frac{\sqrt{196 Q^{}}}{\sqrt{484 Q^{5}}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{16 M^{4}}}{\sqrt[3]{54 M^{}}}$

251.

ⓐ $\frac{\sqrt{108 P^{5} Q^{2}}}{\sqrt{3 P^{3} Q^{6}}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{−16 {UN}^{4} B^{-2}}}{\sqrt[3]{2 {UN}^{-2} B^{}}}$

252.

ⓐ $\frac{\sqrt{98 R S^{10}}}{\sqrt{2 R^{3} S^{4}}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{−375 {si}^{4} {z.z}^{-2}}}{\sqrt[3]{3 {si}^{-2} {z.z}^{4}}}$

253.

ⓐ $\frac{\sqrt{320 M N^{-5}}}{\sqrt{45 M^{-7} N^{3}}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{16 X^{4} {si}^{-2}}}{\sqrt[3]{−54 X^{-2} {si}^{4}}}$

254.

ⓐ $\frac{\sqrt{810 C^{-3} D^{7}}}{\sqrt{1000 C^{} D^{-1}}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[3]{24 {UN}^{7} B^{- 1}}}{\sqrt[3]{- 81 {UN}^{- 2} B^{2}}}$

255.

$\frac{\sqrt{56 X^{5} {si}^{4}}}{\sqrt{2 X {si}^{3}}}$

256.

$\frac{\sqrt{72 {UN}^{3} B^{6}}}{\sqrt{3 UN B^{3}}}$

257.

$\frac{\sqrt[3]{48 {UN}^{3} B^{6}}}{\sqrt[3]{3 {UN}^{- 1} B^{3}}}$

258.

$\frac{\sqrt[3]{162 X^{- 3} {si}^{6}}}{\sqrt[3]{2 X^{3} {si}^{- 2}}}$

Razionalizzare un denominatore a un termine

Nei seguenti esercizi razionalizza il denominatore.

259.

260.

261.

262.

263.

264.

265.

266.

267.

268.

269.

270.

Razionalizzare un denominatore a due termini

Nei seguenti esercizi, semplifica.

271.

$\frac{8}{1 - \sqrt{5}}$

272.

$\frac{7}{2 - \sqrt{6}}$

273.

$\frac{6}{3 - \sqrt{7}}$

274.

$\frac{5}{4 - \sqrt{11}}$

275.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{M} - \sqrt{5}}$

276.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{N} - \sqrt{7}}$

277.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{X} - \sqrt{6}}$

278.

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{si} + \sqrt{3}}$

279.

$\frac{\sqrt{R} + \sqrt{5}}{\sqrt{R} - \sqrt{5}}$

280.

$\frac{\sqrt{S} - \sqrt{6}}{\sqrt{S} + \sqrt{6}}$

281.

$\frac{\sqrt{X} + \sqrt{8}}{\sqrt{X} - \sqrt{8}}$

282.

$\frac{\sqrt{M} - \sqrt{3}}{\sqrt{M} + \sqrt{3}}$

Esercizi di scrittura

283.

ⓐSemplificare $\sqrt{\frac{27}{3}}$ e spiega tutti i tuoi passi.
ⓑSemplificare $\sqrt{\frac{27}{5}}$ e spiega tutti i tuoi passi.
ⓒPerché i due metodi di semplificazione delle radici quadrate sono diversi?

284.

Spiega cosa si intende con la parola razionalizzare nella frase "razionalizzare un denominatore".

285.

Spiega perché moltiplicare $\sqrt{2 X} - 3$ dal suo coniugato risulta in un'espressione senza radicali.

286.

Spiega perché moltiplicare $\frac{7}{\sqrt[3]{X}}$ di $\frac{\sqrt[3]{X}}{\sqrt[3]{X}}$ non razionalizza il denominatore.

Autocontrollo

ⓐDopo aver completato gli esercizi, utilizza questa lista di controllo per valutare la tua padronanza degli obiettivi di questa sezione.

8.5 Dividere le espressioni radicali - Algebra intermedia 2e | OpenStax (63)

ⓑDopo aver esaminato la lista di controllo, pensi di essere ben preparato per la sezione successiva? Perché o perché no?

8.5 Dividere le espressioni radicali - Algebra intermedia 2e | OpenStax (2023)

Dividi le espressioni radicali

Soluzione

Soluzione

Soluzione

Razionalizzare un denominatore a un termine

Soluzione

Soluzione

Soluzione

Razionalizzare un denominatore a due termini

Soluzione

Soluzione

Soluzione

Sezione 8.5 Esercizi

La pratica rende perfetti

Esercizi di scrittura

Autocontrollo