9.3: Proprietà di divisione dei radicali (2023)

Soluzione

L'espressione \(\sqrt{\frac{1}{8}}\) contiene una frazione sotto un radicale. Potremmo prendere la radice quadrata sia del numeratore che del denominatore, ma ciò produrrebbe \(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}\), che mette un radicale nel denominatore.

La strategia migliore è cambiare la forma di \(\frac{1}{8}\) in modo da avere un quadrato perfetto nel denominatore prima di prendere la radice quadrata del numeratore e del denominatore. Notiamo che se moltiplichiamo 8 per 2, il risultato è 16, un quadrato perfetto. Questo è promettente, quindi iniziamo la semplificazione moltiplicando sia il numeratore che il denominatore di \(\frac{1}{8}\) per 2.

\(\sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2}} = \sqrt{\frac{2}{16}} \)

Prendiamo ora la radice quadrata sia del numeratore che del denominatore. Poiché il denominatore è ora un quadrato perfetto, il risultato non avrà un radicale nel denominatore.

\(\sqrt{\frac{2}{16}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

Quest'ultimo risultato, \(\frac{\sqrt{2}}{4}\) è in forma radicale semplice. Non è possibile fattorizzare un quadrato perfetto da nessun radicale, non ci sono frazioni sotto nessun radicale e il denominatore è privo di radicali.

Puoi facilmente controllare la tua soluzione usando la tua calcolatrice per confrontare l'espressione originale con la tua forma radicale semplice. InFigura 4(a), abbiamo approssimato l'espressione originale, \(\sqrt{\frac{1}{8}}\). InFigura 4(b), abbiamo approssimato la nostra forma radicale semplice \(\frac{\sqrt{2}}{4}\). Si noti che producono approssimazioni decimali identiche.

Soluzione

Seguendo l'esempio diEsempio 2, notiamo che \(5 \cdot 20 = 100\), un quadrato perfetto. Quindi, moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per 5, poi prendiamo la radice quadrata sia del numeratore che del denominatore una volta che abbiamo un quadrato perfetto nel denominatore.

\(\sqrt{\frac{3}{20}} = \sqrt{\frac{3}{20} \cdot \frac{5}{5}} = \sqrt{\frac{15}{100}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{15}}{10}\)

Si noti che l'approssimazione decimale della forma radicale semplice \(\frac{\sqrt{15}}{10}\) inFigura 5(b) corrisponde all'approssimazione decimale dell'espressione originale \(\frac{3}{20}\) inFigura 5(UN).

Soluzione

Negli esempi precedenti, rendere il denominatore un quadrato perfetto sembrava una buona tattica. Applichiamo la stessa tattica in questo esempio, notando che \(2 \cdot 18 = 36\) è un quadrato perfetto. Tuttavia, la strategia è leggermente diversa, poiché iniziamo la soluzione moltiplicando sia il numeratore che il denominatore per \(\sqrt{2}\).

\[\frac{5}{\sqrt{18}} = \frac{5}{\sqrt{18}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \nonumber \]

Ora moltiplichiamo numeratori e denominatori. Nel denominatore viene utilizzata la proprietà di moltiplicazione dei radicali, \(\sqrt{18}\sqrt{2} = \sqrt{36}\).

\[\frac{5}{\sqrt{18}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{36}} \nessun numero \]

La strategia ora dovrebbe essere chiara. Poiché il denominatore è un quadrato perfetto, \(\sqrt{36} = 6\), eliminando tutti i radicali dal denominatore del nostro risultato.

\[\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{36}} = \frac{5\sqrt{2}}{6} \nonumber \]

L'ultimo risultato è in forma radicale semplice. Non è possibile estrarre una radice quadrata perfetta da nessun radicale, non ci sono frazioni sotto nessun radicale e il denominatore è privo di radicali.

InFigura 6, confrontiamo l'approssimazione per la nostra espressione originale con \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) la nostra forma radicale semplice \(\frac{5\sqrt{2}}{6}\).

Soluzione

Nota che \(3 \cdot 27 = 81\)è un quadrato perfetto. Iniziamo moltiplicando sia il numeratore che il denominatore della nostra espressione \(\sqrt{3}\).

\(\frac{18}{\sqrt{27}} = \frac{18}{\sqrt{27}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

Moltiplica numeratori e denominatori. Nei denominatori, \(\sqrt{27}\sqrt{3} = \sqrt{81}\)

\(\frac{18}{\sqrt{27}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{81}} \)

Certo, \(\sqrt{81} = 9\), quindi

\(\frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{81}} = \frac{18\sqrt{3}}{9}\)

Possiamo ora ridurre ai minimi termini, dividendo numeratore e denominatore per 9.

\(\frac{18\sqrt{3}}{9} = 2\sqrt{3}\)

InFigura 7, confrontiamo le approssimazioni dell'espressione originale \(\frac{18}{\sqrt{27}}\) e la sua forma radicale semplice \(2\sqrt{3}\).

Soluzione

A volte non è facile capire come scalare il denominatore per ottenere un quadrato perfetto, anche quando si dispone di una tabella di quadrati perfetti. Questo è quando fattore primoizzazionepuò venire in soccorso e fornire un suggerimento. Quindi, per prima cosa esprimi il denominatore come prodotto di numeri primi in forma esponenziale: \(98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2\)

\(\sqrt{\frac{1}{98}} = \sqrt{\frac{1}{2 \cdot 7^2}}\)

Ora possiamo vedere facilmente cosa impedisce al denominatore di essere un quadrato perfetto. Il problema è che non tutti gli esponenti del denominatore sono divisibili per 2. Possiamo rimediare moltiplicando numeratore e denominatore per 2.

\(\sqrt{\frac{1}{2 \cdot 7^2}} = \sqrt{\frac{1}{2 \cdot 7^2} \cdot \frac{2}{2}} = \sqrt {\frac{2}{2^{2}7^{2}}}\)

Nota che ogni numero primo nel denominatore ora ha un esponente che è divisibile per 2. Ora possiamo prendere la radice quadrata sia del numeratore che del denominatore.

\(\sqrt{\frac{2}{2^{2}7^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2^{2}7^{2}}}\ )

Prendi la radice quadrata del denominatore dividendo ogni esponente per 2.

\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2^{2}7^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2^{1} \cdot 7^{1} }\)

Quindi, ovviamente, \(2 \cdot 7 = 14\).

\(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 7} = \frac{\sqrt{2}}{14}\)

InFigura 8, si noti come le approssimazioni decimali dell'espressione originale \(\sqrt{\frac{1}{98}}\) e la sua forma radicale semplice \(\frac{\sqrt{2}}{14}\) coincidano, forti prova che abbiamo trovato la forma radicale semplice corretta. Cioè, non possiamo ricavare un quadrato perfetto da nessun radicale, non ci sono frazioni sotto nessun radicale e i denominatori sono chiari per tutti i radicali.

Soluzione

Fattor primo il denominatore: \( 54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3\).

\(\frac{12}{\sqrt{54}} = \frac{12}{\sqrt{2 \cdot 3^3}}\)

Nessuno dei numeri primi al denominatore ha un esponente divisibile per 2. Se avessimo un altro 2 e un altro 3, allora gli esponenti sarebbero divisibili per 2. Questo ci incoraggia a moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per \(\sqrt{2 \cdot 3 }\).

\(\frac{12}{\sqrt{2 \cdot 3^3}} = \frac{12}{\sqrt{2 \cdot 3^3}} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 3} }{\sqrt{2 \cdot 3}} = \frac{12\sqrt{2 \cdot 3}}{\sqrt{2^{2}3^4}}\)

Dividi ciascuno degli esponenti del denominatore per 2.

\(\frac{12\sqrt{2 \cdot 3}}{\sqrt{2^{2}3^4}} = \frac{12\sqrt{2 \cdot 3}}{2^{1} \ cdot 3^2}\)

Poi, al numeratore, \(2 \cdot 3 = 6\), e al denominatore, \(2 \cdot 3^2 = 18\).

\(\frac{12\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 3^{2}} = \frac{12\sqrt{6}}{18}\)

Infine, riduci ai minimi termini dividendo sia il numeratore che il denominatore per 6.

\(\frac{12\sqrt{6}}{18} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\)

InFigura 9, l'approssimazione per l'espressione originale \(\frac{12}{\sqrt{54}}\) corrisponde a quella della sua forma radicale semplice \(\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

Soluzione

Notare cheXnon può essere uguale a zero, altrimenti il ​​denominatore di \(\sqrt{\frac{18}{x^6}}\)sarebbe zero, il che non è consentito. Tuttavia, seXè positivo o negativo, \(x^6\) sarà un numero positivo (l'elevazione di un numero diverso da zero a una potenza pari produce sempre un numero reale positivo) e \(\sqrt{\frac{18}{x^6} }\) è ben definito.

Tenendo presente cheXè diverso da zero, ma potrebbe essere positivo o negativo, procediamo invocando primaProprietà 1, prendendo la radice quadrata positiva sia del numeratore che del denominatore della nostra espressione radicale.

\[\sqrt{\frac{18}{x^6}} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{x^6}} \nonumber \]

Dal numeratore fattorizziamo un quadrato perfetto. Nel denominatore, usiamo barre di valore assoluto per assicurare una radice quadrata positiva.

\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{x^6}} = \frac{\sqrt{9}\sqrt{2}}{|x^3|} = \frac{3\sqrt{ 2}}{|x^3|}\)

Possiamo usare la regola del prodotto per il valore assoluto per scrivere \(|x^3| = |x^2||x| = x^{2}|x|\). Si noti che non è necessario racchiudere \(x^2\) in barre di valore assoluto perché \(x^2\) è già positivo.

\[\frac{3\sqrt{2}}{|x^3|} = \frac{3\sqrt{2}}{x^{2}|x|} \nonumber \]

Poiché x potrebbe essere positivo o negativo, non possiamo rimuovere le barre del valore assoluto attorno a x. Abbiamo chiuso.

Soluzione

Notare cheXnon può essere uguale a zero, altrimenti il ​​denominatore di \(\sqrt{\frac{12}{x^5}}\) sarebbe zero, il che non è consentito. Inoltre, seXè un numero negativo, allora anche \(x^5\) sarà un numero negativo (elevando un numero negativo a una potenza dispari si ottiene un numero negativo). SeXfossero negativi, allora anche \(\frac{12}{x^5}\) sarebbe negativo e \(\sqrt{\frac{12}{x^5}}\) sarebbe indefinito (non puoi prendere il quadrato radice di un numero negativo). Così,Xdeve essere un numero reale positivo o l'espressione \(\sqrt{\frac{12}{x^5}}\) non è definita.

Procediamo tenendo presente che \(x\) è un numero reale positivo. Un possibile approccio è innanzitutto notare che un altro fattore diXè necessario per rendere il denominatore un quadrato perfetto. Questo ci motiva a moltiplicare sia il numeratore che il denominatore all'interno del radicale per \(x\).

\[\sqrt{\frac{12}{x^5}} = \sqrt{\frac{12}{x^5} \cdot \frac{x}{x}} = \sqrt{\frac{12x} {x^6}} \nonumero \]

Ora possiamo usareProprietà 1per prendere la radice quadrata sia del numeratore che del denominatore.

\[\sqrt{\frac{12x}{x^6}} = \frac{\sqrt{12x}}{\sqrt{x^6}} \nonumber \]

Al numeratore calcoliamo un quadrato perfetto. Nel denominatore, le barre di valore assoluto assicurerebbero una radice quadrata positiva. Tuttavia, abbiamo affermato che x deve essere un numero positivo, quindi \(x^3\) è già positivo e non sono necessarie barre di valore assoluto.

\[\frac{\sqrt{12x}}{\sqrt{x^6}} = \frac{\sqrt{4}\sqrt{3x}}{x^3} = \frac{2\sqrt{3x} }{x^3} \nonumero \]

Soluzione

Un possibile approccio sarebbe scomporre un quadrato perfetto e scrivere

\[\sqrt{\frac{27}{x^{10}}} = \sqrt{\frac{9}{x^{10}} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{(\frac{ 3}{x^5})^2}\sqrt{3} = |\frac{3}{x^5}|\sqrt{3}. \nessun numero \]

Ora, \(|\frac{3}{x^5}| = \frac{|3|}{(|x^4||x|} = \frac{3}{x^{4}|x| }\), poiché \(x^4 > 0\).

\[|\frac{3}{x^5}|\sqrt{3} = \frac{3}{x^{4}|4|}\sqrt{3}. \nessun numero \]

Tuttavia, ci viene dato che x < 0, quindi |x| = −x e possiamo scrivere

\[\frac{3}{x^{4}|x|}\sqrt{3} = \frac{3}{x^{4}|x|}\sqrt{3} = \frac{3}{ x^{4}(−x)}\sqrt{3} = −\frac{3}{x^5}\sqrt{3} \nonumber \]

Possiamo spostare \(\sqrt{3}\) nel numeratore e scrivere

\[−\frac{3}{x^5}\sqrt{3} = −\frac{3\sqrt{3}}{x^5}. \nessun numero \]

Ancora una volta, è istruttivo testare la validità di questo risultato usando la tua calcolatrice grafica. Presumibilmente, il risultato è vero per tutti i valori di x < 0. Quindi, memorizza −1 in x, quindi inserisci l'espressione originale e la sua forma radicale semplice, quindi confronta le approssimazioni, come mostrato inFigure 10(a), (b) e (c).

Approccio alternativo.Un approccio leggermente diverso inizierebbe di nuovo prendendo la radice quadrata sia del numeratore che del denominatore.

\(\sqrt{\frac{27}{x^{10}}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{x^{10}}}\)

Ora, \(\sqrt{27} = \sqrt{9}\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\) e assicuriamo che \(\sqrt{x^{10}}\) produca un numero positivo utilizzando barre di valore assoluto. Cioè, \(\sqrt{x^{10}} = |x^5|\) e

\(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{x^{10}}} = \frac{3\sqrt{3}}{|x^5|}\)

Tuttavia, utilizzando la regola del prodotto per il valore assoluto e il fatto che \(x^4 > 0\), \(|x^5| =|x^4||x| = x^{4}|x|\) E

\(\frac{3\sqrt{3}}{|x^5|} = \frac{3\sqrt{3}}{x^{4}|x|}\)

Infine, ci viene dato che x < 0, quindi |x| = −x e possiamo scrivere

\(\frac{3\sqrt{3}}{x^{4}|x|} = \frac{3\sqrt{3}}{x^{4}(−x)} = −\frac{3 \sqrt{3}}{x^5}\).